عالم الرياضيات: أكتوبر 2013

تطابق المثلثات

الاهداف:

حلّ مسائل مرتبطة بمفاهيم الزوايا المتتامة، والمتكاملة، والمتطابقة.

تحديد الأجسام المتطابقة وبرهنتها ، وتطبيق التكافؤ بين الأجزاء المتكافئة.

تحديد حالات تطابق المثلثات( ثلاثة أضلاع ، ضلعان وزاوية محصورة ، زاويتان وضلع ).

إنشاء مثلث مطابق لمثلث مُعطَى

النتاجات المتوقعة
يحدِّد حالات تطابق المثلثات.
ينشىء مثلثا مطابقا لمثلث مُعطَى.
يحدِّد الأشكال المتطابقة، ويطبِّق المساواة بين الأجزاء المتناظرة.
يحلُّ مسائل مرتبطة بمفاهيم الزوايا المتتامة، والمتكاملة، والمتطابقة.

مقدمة الدرس:يتناول الدرس حالات تطابق المثلثات، وكيفية إنشاء مثلث مطابق لمثلث معطى، وتحديد الأشكال المتطابقة، وتطبيق المساواة بين الأجزاء المتناظرة، وحل مسائل مرتبطة بمفاهيمالزوايا المتتامة، والمتكاملة و المتطابقة

مسألة

قم بإنشاء 4 مثلثات متساوية الأضلاع ، وركِّبها كما في الشكل السابق ، ثم أجب عن الأسئلة التالية :
سمِّ الأضلاع المتطابقة جميعها.

سمِّ جميع المثلثات التي يمكن أن تجدها بحيث تطابق المثلث أ ب ف . برِّرْ تسميتك لتلك المثلثات.

سمِّ شكلين مطابقين للشكل الرباعي ب ج و ف. برِّرْ تسميتك لتلك الأشكال.

انقلِ المثلث ب د ف ، وقم بإنشاء المثلث متساوي الأضلاع س ص ع المطابق للمثلث ب د ف .

عندما ننشئ مثلثا متساوي الأضلاع ، من الضروري ألاّ نغيِّر الفرجار الذي نستخدمه لقياس الأضلاع . لماذا؟
معلومات سابقة,استخدم المنقلة والمسطرة لرسم الزوايا التالية :

120 ْ ، 142 ْ ، 50 ْ

ارسم قطعتين مستقيمتين متطابقتين.

ارسم زاويتين متطابقتين.

ارسم شكلا رباعيا وانقله على ورقة أخرى ، ثم قم بقصِّه. هل يطابق الشكل الأصلي ؟

الشرح تطابق المثلثات :

حالات تطابق المثلثات:

يتطابق المثلثان إذا تساوى طول كل ضلع في المثلث الأول مع نظيره في المثلث الثاني ( ثلاثة أضلاع ).

2- يتطابق المثلثان إذا تساوى طولا ضلعين متناظرين فيهما ، وتساوى قياس الزاويتين المتناظرتين المحصورتين بين هذين الضلعين في كل مثلث. ( ضلعان وزاوية محصورة بينهما ).

3- يتطابق المثلثان إذا تساوى في أحد المثلثين طولُ ضلعٍ وقياس زاويتين مع نظائرهما في المثلث الآخر.( زاويتان وضلع ).

- يتطابق المثلثان القائمان إذا تطابق فيهما الوتران وضلعان متناظران. ( وتر وضلع ).

نشاط

حدِّد أزواج المثلثات المتطابقة وغيرالمتطابقة فيما يأتي، مع ذكر السبب .

نشاط 2:

الشكل التالي يمثِّل مثلثين متشابهين.

هل هما متطابقان؟

لاحظ أن:

- الزوايا المتناظرة متطابقة.

- زوجا من الأضلاع المتناظرة متساو في الطول.

- لكن المثلثين متطابقا الأضلاع .

إذن:

الأضلاع المتناظرة متساوية في الطول.

إذن:

المثلثان متطابقان.

إنشاء مثلث مطابق لمثلث مُعطَى:

لإنشاء مثلث مطابق للمثلث س ص ع باستخدام الفرجار والمسطرة، اتبع الخطوات التالية:

1-ارسم خطا مستقيما، وعيِّن النقطة صَ على الخط .

2-استخدم الفرجار في قياس القطعة المستقيمة ص ع ، ثبِّتْ رأس الفرجار على النقطة صَ، وارسم قوسا يقطع الخط المستقيم في عَ.

3- حدِّد قياس الزاوية ص باستخدام المنقلة ، وارسم الزاوية من النقطة صَ .

4-استخدم الفرجارلقياس القطعة المستقيمة ص س ، ثبِّتْ رأس الفرجار على النقطة صَ ، وارسم قوسا يقطع ضلع الزاوية صَ في سَ

5- صِل بين النقطتين صَ عَ بخط مستقيم

المثلث سَ صَ عَ يطابق المثلث س ص ع.

للتأكد من الحل؛ استخدم الفرجار في قياس القطعة المستقيمة س ع . ثبِّتْ رأسَ الفرجار على النقطة سَ، وارسم قوسا يقطع المستقيم في عَ . إذا تقاطعت، كما في الشكل، فإن الحلّ صحيح.

تعلم أنه يمكن رسم مثلث واحد فقط يطابق المثلث المعطى.
نشاط 3:
ارسم مثلثا باستعمال المسطرة والفرجار، بحيث يطابق المثلث الآتي الذي عُلِمَ طول كل من أضلاعه.

- يتطابق المثلثان إذا تساوى طول كل ضلع في المثلث الأول مع نظيره في المثلث الثاني ( ثلاثة أضلاع) .

2- يتطابق المثلثان إذا تساوى فيهما ضلعان متناظران، وتساوى قياس الزاويتين المتناظرتين المحصورتين بين هذين الضلعين في كل مثلث ( ضلعان وزاوية محصورة ) .

3- يتطابق المثلثان إذا تساوى في أحد المثلثين طول ضلع زاويتين وقياسيهما نظائرهما في المثلث الآخر ( زاويتان وضلع ).

4- يتطابق المثلثان القائمان إذا تساوى فيهما الوتران وضلعان متناظران ( وتر وضلع )

5- يمكن إنشاء مثلث مطابق لمثلث آخر باستخدام الفرجار والمسطرة.

أجب عن الأسئلة التالية :

1- أ ب ج د مستطيل ، فيه أ س = ج ص . أثبت أن ص ب = د س.

2- أ ب ج مثلث ، فيه ج د عمود على أ ب ، ب و عمود على أ ج ، ب د = ج و . أثبت أن المثلثين د ب ج ، و ب ج متطابقان.

3- في الشكل التالي : أ ب عمود على س ج ، أ د عمود على ع ج ، أ د = أ ب . أثبت أن ج أ ينصف زاوية س ج ع.

الدوال المثلثيه

خواص المحددات وطرق ايجادها

نعم شرط ان تكون المصفوفة مربعة م × م
وهناك عدة طرق متنوعة لإيجاد قيمة المحدد
من الرتبة م ، لكن يفضل فى بعض المحددات
وضعها فى ابسط صورة ، ثم ايجاد قيمة المحدد لها

من خواص المحددات :1)
المحدد المصفوفة = محدد دور المصفوفة

مثال :
3 1 3 5
المحدد : =
5 4 1 4

2) الخاصية الثانية : لو قمان بتبديل وضع
الأعمدة ، او الصفوف فإن اشارة المحدد
تتغير ، ويمكن تعميم القاعدة الى : لو
قمنا بعدد تبديلات فردية فإن اشارة
المحدد تتغير، بينما لو قمنا بعدد تبديلات
زوجية فإن قيمة المحدد لا تتغير .. مثال

3 1 5 4
المحدد : = - = 7
5 4 3 1

3 1 1 3
المحدد : = - = 7
5 4 4 5

3) قيمة المحدد = 0 اذا تساوى فيه صفان، او عمودان ..
او ان يكون عناصر اى صف، او عمود كلها اصفاراً ..
3 5 1
3 5 1 = 0
المحدد : 2 0 7

نظراً لتساوى الصفين (1) ، (2)

3 4 3
المحدد : 5 0 5 = 0
1 6 1

نظراً لتساوى العمود الأول مع العمود الثالث .

5 0 4
المحدد : 3 0 10 = 0
2 0 6

0 0 0
المحدد : 1 5 7 = 0
-1 -8 6

4) اذا ضربنا عناصر اى صف او عمود فى عدد ما
ك فإن قيمة المحدد الجديد = ك × قيمة المحدد الأصلى .

مثال : اوجد قيمة هذه المحدد :-

-1 3 1
0 5 3 = -1(-27)-3(-6)+1(-10) = 35
2 4 -3

فى حين اننا لو ضربنا مثلاً الصف الثانى فى 2
تكون قيمة هذا المحدد = 2 × 35 = 70
تحقق ..

-1 3 1
0 10 6 = -1(-54)-3(-12)+1(-20)= 70
2 4 -3

مما سبق نستنج انه اذا وجد عامل مشترك فى صف
ما، او عمود ما فى المحدد فإننا نخرجع كعامل مشترك
مثال على ذلك :-

6 12 3 2 4 1
المحدد : 5 1 -1 = 3 × 5 1 -1
7 -5 4 7 -5 4

اى : اخرجنا 3 عامل مشترك من الصف الأول ..

5) يمكن وضع المحدد فى صورة مجموع محددين
من نفس الرتبة، بتجزء صف واحد فقط، او عمود
واحد بفقط مع ثبات باقى الأعمدة والصفوف .. مثال

4 2 3 1 1 1
المحدد : = +
5 6 5 6 5 6

هنا تم تجزء الصف الأول مع بقاء الصف الثانى، وعكس
هذه الخاصية صحيح ايضاً ( جربها بنفسك )

6) اذا اضفنا لعناصر اى صف او عمود مضاعفات
صف او عمود آخر فإن قيمة المحدد لا تتغير .. مثال

3 -2 4 9 5 3
المحدد : 6 7 -1 = 6 7 -1
9 1 1 9 1 1

الذى حدث : تم اضافة عناصر الصف الثانى
الى عناصر الصف الأول، واذا نقلنا مضاعفات
عناصر الصف الثانى للصف الأول، فإنه ايضاً
قيمة المحدد لا تتغير، ونفس الشىء مع الأعمدة ..

6) اذا ما وجدت ثلاثة اصفار اسفل، او تحت القطر
الرئيسى، فإن قيمة المحدد = حاصل ضرب عناصر
القطر الرئيسى، اما اذا وجدت ثلاثة اصفار اسفل
او تحت القطر الثانوى، فإن قيمة المحدد =
- ( حاصل ضرب عناصر القطر الثانوى ) .. مثال

0 0 3
المحدد : 0 5 1 = - (1×5×3) = 15
1 6 7

6 0 0
المحدد : 4 3 0 = 6×3×4 = 72
-1 2 4

░ ايجاد المحدد من الرتبة 2×2 ░

أ ب
المحدد : = (أ×د) - (ب×جـ)
جـ د

3 4
مثال : المحدد = (3×7)-(4×6)=-3
6 7

░ ايجاد المحدد من الرتبة 3×3 ░

أ ب جـ هـ و د و د هـ
المحدد : د هـ و = أ ×ر ن - ب×ز ن +جـ×ز ر
ز ر ن

مثال :
6 2 1
المحدد : 5 4 2 = 6(-4-2)-2(-5-2)+1(5-4)=-21
1 1 -1

░ وبصفة عامة ايجاد المحدد من الرتبة م×م░

نصنع نفس الخطوات السابقة، والإشارة فى كل
مرة تتغير يعنى : + ، - ، + ، - ، + ، ...... وهكذا

تعال عند اول عنصر فى الصف الأول ثم اضربه فى
محدد، لكن ما هو ؟؟ المحدد هو جميع عناصر
المحدد الأصلى فيما عدا الصف، العمود اللذان
ينتميا له هذه العنصر الذى اشرت اليه .. وهذا
هى الخاصية العامة لإيجاد اى محدد من الرتبة م×م

مثال على هذا : ايجاد المحدد من الرتبة 4×4
( عن طريق تحويله الى مجموع مضاعفات محددات
من الرتبة 3×3 ثم تحويل كل محدد من الرتبة 3×3
الى مجموع مضاعفات محددات من الرتبة 2×2
وهكذا الى ان توجد القيمة المحدد بالكامل .. لكن
ينصح اجراء بعض الإختصارات قبل ايجاد قيمته ..

3 2 -1 5
3 2 4 1
1 0 2 0
2 -4 6 2

2 4 1 3 4 1 3 2 1 3 2 4
= 3 × 0 2 0 - 2× 1 2 0 +(-1)×1 2 0 -5× 1 0 2
-4 6 2 2 6 2 2 -4 2 2 -4 6

ثم فك كل محدد من الدرجة الثالثة، ليظهر لك
قيمة المحدد من بالكامل من الدرجة الرابعة .

التقاطع والإتحاد

التقاطع والإتحاد

مجموعة التقاطع هي : مجموعة العناصر المشتركة بين المجموعات ويرمز لها بالرمز

و تقرأ تقاطع
مجموعة الإتحاد هي : مجموعة تضم جميع عناصر المجموعات دون تكرار ويرمز لها بالرمز

وتقرأ اتحاد

مثال:

عناصر

هي : 6،1،3،2
عناصر

هي : 4،2،1،8

	عناصر ( اتحاد ) هي : جميع العناصر التي تنتمي إلى وعناصر من دون تكرار عناصر هي : 4،8،6،1،3،2 في الشكل المقابل : المنطقة المضللة تمثل
	عناصر ( تقاطع ) هي : العناصر المشتركة فقط عناصر هي : 2،1 في الشكل المقابل : المنطقة المظللة تمثل